Ova stranica je u izradi…

DERIVACIJA FUNKCIJE f u točki x₀

Tangenta je pravac koji dodiruje krivulju u jednoj točki.

Na svaku je krivulju npr. kružnicu, elipsu, parabolu, hiperbolu moguće položiti beskonačno mnogo tangenata, ali kroz svaku točku glatke krivulje prolazi samo jedna tangenta

Jednadžba pravca tangente je y – y₀ = k(x – x₀),

pri čemu je koeficijent smjera k jednak derivaciji funkcije krivulje u točki x₀ odnosno
k = f’(x₀).

Na animiranoj slici (iznad) prikazana je krivulja složene funkcije:
f(x) = xsin(x²) + 1
u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu (x,y).

U svakoj točki krivulje (u intervalu od x = -1 do x = 3) prikazana je tangenta na krivulju.
– Kada je koeficijent smjera tangente (odnosno prva derivacija funkcije) pozitivan, k > 0,
dio pravca tangente je zelene boje.

– Kada je koeficijent smjera tangente negativan, k < 0,
dio pravca tangente je crvene boje.

– Kada je koeficijent smjera tangente jednak nuli, k = 0,
tj. kad funkcija ima lokalni ekstrem (minimum ili maksimum),
dio pravca tangente je crne boje.

Izvor: wikipedija

FUNKCIJA f

označene su točke:

minimuma
infleksije
maksimuma

DERIVACIJA FUNKCIJE f’

označene su točke:

nultočka
maksimum
nultočka

Možete se poslužiti sadržajem NIZOVI I REDOVI iz udžbenika preuzetog s linka: https://element.hr/artikli/file/1213

Dodatni materijali za rad:

Teorija i zadaci: NIZ; ARITMETIČKI NIZ
http://www.alkascript.hr/index.php/katalog-proizvoda/srednje-skole/trgovacka-skola?format=raw&task=download&fid=200
Dodatne zadatke za vježbu možete pogledati na linku: http://www.gssjd.hr/wp-content/uploads/2010/11/DZ1_4r_RM-1.pdf

Navedeni dokumenti su priloženi i u pdf obliku.

Aritmetički niz je niz za koji vrijedi da je razlika susjednih članova niza konstantna. Ta razlizka se označava s d.

Aritmetički niz je niz oblika:

Da bismo formirali aritmetički niz moramo poznavati a₁ i d
Za opći član niza vrijedi:

Svaki član aritmetičkog niza je aritmetička sredina njemu susjednih članova niza, tj.

Zbroj prvih n članova niza je

Geometrijski niz je niz brojeva kod kojeg je količnik svakog člana i člana ispred njega uvijek stalan broj. Taj broj označavamo sa q i nazivamo ga kvocijentom, a računamo ga pomoću formule:

$q =frac{a_n}{a_{n-1}}$

Da bismo formirali geometrijski niz moramo poznavati a₁ i q
Opći član geometrijskog niza koji ima beskonačno elemenata:

$a_n = a_1 cdot q^{n-1}$

Zbroj konačno mnogo članova geometrijskog niza:

$S_n = a_1 frac{q^n-1}{q-1}$

Svaki član geometrijskog niza, osim prvog, je geometrijska sredina dvaju susjednih članova.

$frac{a_n}{a_{n-1}} = q = frac{a_{n-1}}{a_n}$

Što ćeš naučiti?

Kako nastaje graf funkcije f(x) = sin x
Kako nastaje graf funkcije f(x) = COS x

Klikom na gumbove Start i Stop možeš pokrenuti, odnosno zaustaviti animaciju. Dok je animacija zaustavljena, možeš povlačiti točku u koordinatnom sustavu.

U kojim je točkama vrijednost funkcije sinus jednaka 0 ?
Kolika je funkcijska vrijednost u točki s apscisom ?

Provjeri što se događa ako povlačiš točku A po kružnici?

Graf funkcije f(x)=asin(bx+c)+d

Namatanje brojevnog pravca na BROJEVNU KRUŽNICU

(bez rastezanja i klizanja). Svakom broju pridružuje se jedna točka kružnice. Naglašene su samo istaknute točke kružnice.

Kliknite na gumb za pokretanje animacije u donjem lijevom kutu apleta ili povlačite klizač t.

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih karakterističnih brojeva (kutova)

Formule redukcije se nalaze u priloženim datotekama

Danas ćemo

mjeriti duljine i izračunavati omjere visine i širine papira
računati izraze s korijenima
procjeniti i izračunati vrijednost drugoga korijena služeći se džepnim računalom
ponoviti razliku između racionalnih i iracionalnih brojeva
istražiti svojstva standardnih formata papira

(OBRAZOVNI ISHODI)

ZADACI:

Izmjeri dimenzije i pokušaj odrediti format nekih "papira" kod kuće (primjerice: osobna iskaznica, pokaz, putovnica, igraće karte, udžbenik iz matematike, omiljena knjiga…).
Dozvoljena je tolerancija ±1.5 mm za dimenzije do 150 mm,
±2 mm za dimenzije od 150 mm do 600 mm i ±3 mm za dimenzije iznad 600 mm.
Koliko posto treba na fotokopirnom aparatu uvećati sliku želimo li papir formata A5 kopirati na format A4?
Na pakiranju A4 papira stoji da on teži 80 g/m2. Na kartonskoj uredskoj ladici stoji da je predviđena za težine do 2 kg.
Možemo li u nju staviti cijeli paket od 500 papira?
Koliko bi puta (teoretski) trebao/la presavinuti papir na pola da njegova debljina dosegne tvoju visinu?

ANKETA za učenike

Pogledaj video The A4 Paper Puzzle i riješi zadatak zadan u njemu.
Može li se presavijanjem papira doći do mjeseca?
Kako možemo doći do Mjeseca savijajući papir
Koliko se puta stvarno može presaviti papir?
MythBusters- Folding Paper Seven plus times
Što se dogodi s papirom ako se presavije jednom previše?
Watch What Happens When You Use A Hydraulic Press To Try To Fold A Piece Of Paper Seven Times
Kako presavijanjem papira do korijena broj 2 i kako dokazati da je on iracionalan broj?
Root 2 – Numberphile

ANKETA za nastavnike

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija

Autor:: Vesna Josipović, Šime Šuljić

Tema:: Kosinus, Sinus, Trigonometrija

Pomicanjem točke E(t) po brojevnoj kružnici naučit ćete kolika je vrijednost pojedine trigonometrijske funkcije broja t, odnosno odgovarajućeg kuta.

POVEZNICA NA 1. APLET U GEOGEBRI

Vrijednosti sinusa i kosinusa istaknutih kutova

Autor:: Vesna Josipović, Šime Šuljić

Tema:: Kosinus, Sinus, Trigonometrija

Otkrijte točne vrijednosti trigonometrijskih funkcija povlačenjem zelene točke po brojevnoj kružnici.

POVEZNICA NA 2. APLET U GEOGEBRI

Vrijednost sinusa i kosinusa kuta između 90° i 180°

https://www.geogebra.org/m/pkjzmd5u#material/hqgkx4ee

http://sinusov-poucak.weebly.com/primjeri-iz-geogebre-1.html#

Četiri krivulje drugog reda, kružnice, elipse, parabole ili hiperbole mogu se dobiti promjenom nagiba ravnine kojom presijecamo konus (tj. promjenom kuta između osi konusa i ravnine koja ga presijeca). U geogebrinom apletu (ispod ovog teksta) razmatramo beskonačni stožac s kutom α (kut između izvodnice stošca i osi stošca).

Poigrajte se animacijom kako biste vidjeli demonstraciju konika (krivulja drugog reda):

hiperbole
parabole
elipse
kruga

Zaustavite animaciju i istražite dodatne posebne slučajeve promjenom:

kuta ravnine (povucite narančastu točku)
položajem ravnine (povucite smeđu točku)
kutom α (kut između izvodnice stošca i osi stošca)

Ovisno o tome pod kojim kutem ravnina presjeca ovaj beskonačni stožac, imamo sljedeće situacije:

ako je kut između ravnine i osi stošca 0° imamo DVA PRAVCA
ako je kut između ravnine i osi stošca veća od 0° i manja od α imamo HIPERBOLU
ako je kut između ravnine i osi stošca veća od α manja od 90° imamo ELIPSU
ako je kut između ravnine i osi stošca 90° imamo KRUŽNICU

https://ggbm.at/T8TV2JqG

KONSTRUKCIJA PARABOLE metodom presavijanja papira

DEFINICIJA parabole

Skup svih točaka ravnine jednako udaljenih od zadanog pravca i zadane točke koja ne leži na tom pravcu.

Zadani pravac d zovemo direktrisa ili ravnalica parabole, a zadanu točku F fokus ili žarište parabole.

DODATAK – možete pogledati i ove geogebrine aplete:

https://ggbm.at/TEedZ6Vs

https://ggbm.at/ZtEPVCec

Ponovimo zajedno igrajući se zadacima u geogebri:

Jednadžba kružnice (1)

Jednadžba kružnice (2)

Kružnica kroz zadanu točku, koja dodiruje obje osi

Položaji dviju kružnica

Međusobni položaj dviju kružnica (1)

Međusobni položaji dviju kružnica (2)

Prouči moguće položaje pravca i kružnice

Zajedničke tangente kružnica

Kružnica i položaji kružnice i pravca – razni zadaci i izazovi

SISTEMATIZACIJA GRADIVA

Uputa:

Riješite zadatke s listića u priloženom dokumentu zadaci za vjezbu – kruznica.pdf. Rješenja možete provjeriti ovdje u apletima Geogebre. U njima su nacrtane sve kružnice, a vi možete dodavati i konstruirati sve što je potrebno za provjeru vaših rješenja.

ŠTO ĆU NAUČITI?

Prikazati vektore u ravnini
Zbrajati ih i oduzimati
Množiti vektore sa skalarom
Primijeniti vektore i operacije s njima za prikazivanje i istraživanje geometrijskih oblika

ZA ŠTO MI TO TREBA?