PRVI RAZRED
Smjer: farmaceutski tehničar

MATEMATIKA - projektni zadatak

Matematika u egipatskim piramidama i zvjezdanom nebu

MATEMATIKA - projektni zadatak

Primjena trigonometrije u raznim aspektima života.

https://www.geogebra.org/m/hSgb7tCg

POVEZNICA NA  1. APLET U GEOGEBRI

POVEZNICA NA  2. APLET U GEOGEBRI

Vrijednost sinusa i kosinusa kuta između 90° i 180°

https://www.geogebra.org/m/pkjzmd5u#material/hqgkx4ee

http://sinusov-poucak.weebly.com/primjeri-iz-geogebre-1.html#​

DERIVACIJA FUNKCIJE f u točki x₀

Tangenta je pravac koji dodiruje krivulju u jednoj točki.

Na svaku je krivulju npr. kružnicu, elipsu, parabolu, hiperbolu moguće položiti beskonačno mnogo tangenata, ali kroz svaku točku glatke krivulje prolazi samo jedna tangenta

Jednadžba pravca tangente je y - y₀ = k(x - x₀),

pri čemu je koeficijent smjera k jednak derivaciji funkcije krivulje u točki x₀ odnosno
k = f'(x₀).

Na animiranoj slici (iznad) prikazana je krivulja složene funkcije:
f(x) = xsin(x²) + 1
u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu (x,y).

U svakoj točki krivulje (u intervalu od x = -1 do x = 3) prikazana je tangenta na krivulju.
- Kada je koeficijent smjera tangente (odnosno prva derivacija funkcije) pozitivan, k > 0,
dio pravca tangente je zelene boje.

- Kada je koeficijent smjera tangente negativan, k < 0,
dio pravca tangente je crvene boje.

- Kada je koeficijent smjera tangente jednak nuli, k = 0,
tj. kad funkcija ima lokalni ekstrem (minimum ili maksimum),
dio pravca tangente je crne boje.

Izvor: wikipedija

FUNKCIJA f

označene su točke:

1. minimuma
2. infleksije
3. maksimuma

DERIVACIJA FUNKCIJE f'

označene su točke:

1. nultočka
2. maksimum
3. nultočka

Možete se poslužiti sadržajem NIZOVI I REDOVI  iz udžbenika preuzetog s linka: https://element.hr/artikli/file/1213

Dodatni materijali za rad:

• Teorija i zadaci: NIZ; ARITMETIČKI NIZ
  http://www.alkascript.hr/index.php/katalog-proizvoda/srednje-skole/trgovacka-skola?format=raw&task=download&fid=200
   
• Dodatne zadatke za vježbu možete pogledati na linku: http://www.gssjd.hr/wp-content/uploads/2010/11/DZ1_4r_RM-1.pdf

Navedeni dokumenti su priloženi i u pdf obliku.

Aritmetički niz je niz za koji vrijedi da je razlika susjednih članova niza konstantna. Ta razlizka se označava s d.

Aritmetički niz je niz oblika:  

Da bismo formirali aritmetički niz moramo poznavati a₁ i d 
Za opći član niza vrijedi:

Svaki član aritmetičkog niza je aritmetička sredina njemu susjednih članova niza, tj.

Zbroj prvih n članova niza je

Geometrijski niz je niz brojeva kod kojeg je količnik svakog člana i člana ispred njega uvijek stalan broj. Taj broj označavamo sa q i nazivamo ga kvocijentom, a računamo ga pomoću formule:

Da bismo formirali geometrijski niz moramo poznavati a₁ i q 
Opći član geometrijskog niza koji ima beskonačno elemenata:

Zbroj konačno mnogo članova geometrijskog niza:

Svaki član geometrijskog niza, osim prvog, je geometrijska sredina dvaju susjednih članova.

KONSTRUKCIJA PARABOLE metodom presavijanja papira

DODATAK - možete pogledati i ove geogebrine aplete:

https://ggbm.at/TEedZ6Vs

https://ggbm.at/ZtEPVCec

Ponovimo zajedno igrajući se zadacima u geogebri:

Jednadžba kružnice (1)

Jednadžba kružnice (2)

Kružnica kroz zadanu točku, koja dodiruje obje osi

Položaji dviju kružnica

Međusobni položaj dviju kružnica (1)

SISTEMATIZACIJA GRADIVA

Uputa:

Riješite zadatke s listića u priloženom dokumentu zadaci za vjezbu - kruznica.pdf. Rješenja možete provjeriti ovdje u apletima Geogebre. U njima su nacrtane sve kružnice, a vi možete dodavati i konstruirati sve što je potrebno za provjeru vaših rješenja.

• Prikazati vektore u ravnini
• Zbrajati ih i oduzimati
• Množiti vektore sa skalarom
• Primijeniti vektore i operacije s njima za prikazivanje i istraživanje geometrijskih oblika

ZA ŠTO MI TO TREBA?

• Za određivanje rezultantne sile
• Za određivanje smjera kretanja zrakoplova
• Za određivanje brzine kretanja zrakoplova u odnosu na tlo

SVOJSTVA VEKTORA:

 
Matematika 3, II.dio, udžbenik za 3. razred četverogodišnje strukovne škole
I.Čavlović, M.Lapaine
Školska knjiga, Zagreb, 2005
 

ZBRAJANJE VEKTORA

ODUZIMANJE VEKTORA

ZBRAJANJE I ODUZIMANJA VEKTORA - PRAVILA

CRTANJE VEKTORA U KOORDINATNOM SUSTAVU

KOLINEARNI VEKTORI

MNOŽENJE VEKTORA SKALAROM

POGLEDAJTE VIDEO SA SKRIVENIM ZADACIMA

IGRA: memori kartice

RAD JE SAVLADAVANJE (djelovanje) SILE NA NEKOM PUTU.
Kolika je sila potrebna da bi se uz isti rad tijelo na slikama pokmaklo za isti put?

Skalarni produkt dvaju vektora jest SKALAR (realan broj) koji je jednak umnošku modula tih vektora i kosinusa kuta između njih

SVOJSTVA:

Matematika 3, II.dio, udžbenik za 3. razred četverogodišnje strukovne škole
I.Čavlović, M.Lapaine
Školska knjiga, Zagreb, 2005

Zadana su dva vektora i kut među njima:

 

Ortogonalna projekcija dužine a na pravac nosioc vektora  nazivamo SKALARNA PROJEKCIJA vektora na vektor 

 Provjeri pomoću skalarnog produkta valjanost podataka sa slike:

Što ćeš naučiti?

U kojim je točkama vrijednost funkcije sinus jednaka 0 ?
Kolika je funkcijska vrijednost u točki s apscisom  ?

Provjeri što se događa ako povlačiš točku A po kružnici?

Graf funkcije f(x)=asin(bx+c)+d

Namatanje brojevnog pravca na BROJEVNU KRUŽNICU 

---

---

Formule redukcije se nalaze u priloženim datotekama

Danas ćemo

• mjeriti duljine i izračunavati omjere visine i širine papira
• računati izraze s korijenima
• procjeniti i izračunati vrijednost drugoga korijena služeći se džepnim računalom
• ponoviti razliku između racionalnih i iracionalnih brojeva
• istražiti svojstva standardnih formata papira

(OBRAZOVNI ISHODI)

ZADACI:

1. Izmjeri dimenzije i pokušaj odrediti format nekih "papira" kod kuće (primjerice: osobna iskaznica, pokaz, putovnica, igraće karte, udžbenik iz matematike, omiljena knjiga...).
   Dozvoljena je tolerancija  ±1.5 mm za dimenzije do 150 mm, 
   ±2 mm za dimenzije od 150 mm do 600 mm i ±3 mm za dimenzije iznad 600 mm.
2. Koliko posto treba na fotokopirnom aparatu uvećati sliku želimo li papir formata A5 kopirati na format A4?
3. Na pakiranju A4 papira stoji da on teži 80 g/m2. Na kartonskoj uredskoj ladici stoji da je predviđena za težine do 2 kg.
   Možemo li u nju staviti cijeli paket od 500 papira?
4. Koliko bi puta (teoretski) trebao/la presavinuti papir na pola da njegova debljina dosegne tvoju visinu?

   ---

ANKETA za učenike

1. Pogledaj video The A4 Paper Puzzle  i riješi zadatak zadan u  njemu.
2. Može li se presavijanjem papira doći do mjeseca?
   Kako možemo doći do Mjeseca savijajući papir
3. Koliko se puta stvarno može presaviti papir? 
   MythBusters- Folding Paper Seven plus times 
4. Što se dogodi s papirom ako se presavije jednom previše? 
   Watch What Happens When You Use A Hydraulic Press To Try To Fold A Piece Of Paper Seven Times
5. Kako presavijanjem papira do korijena broj 2 i kako dokazati da je on iracionalan broj? 
   Root 2 - Numberphile

ANKETA za nastavnike

Naoružajte se kavom, strpljenjem i upornošću! Provjerena formula

Samo rad će vas dovesti do uspjeha! Na linku koji sljedi ćete pronaći puuuuuno korisnih i što je još važnije, riješenih zadataka. 

DOSADAŠNJI, RIJEŠENI ISPITNI ROKOVI

http://web.vip.hr/robert.gortan.vip/nastava_matematike.html

Sretno!

Vaša prof. M.G.B.

U priloženim dokumentima ćete pronaći materijale pomoću kojih možete ponoviti obrađene sadržaje.